群(Group)

数学

空ではない集合Sの任意の元a, bに対し，Sの元cを対応させる法則を2項演算，あるいは2項算法という．記号表記すると，
S \times S\longrightarrow[15]S
または，
(a, b) \longrightarrow[15] a \cdot b = c
となる．

和や積は2項演算となる．



空でない集合Sに2項演算が与えられ，次の三つの条件を満たすとき，Sを群(Group)という．
a\cdot(b \cdot c) = (a \cdot b)\cdot c (結合法則[assosiative law])

Sに元eがあり，Sの任意の元aに対し，e\cdot a = a\cdot e = a (単位元eが存在する)

Sの任意の元aに対し，aに対応する元xが存在し，a\cdot x = x\cdot a = e (各元に逆元xが存在する．)


群Sの元の個数を，Sの位数(Order)といい，|S|と書く．

群Sが以下の条件を満たすとき，群Sを可換群(またはアーベル群)という．
a\cdot b = b\cdot a

整数全体の集合Z，実数全体の集合R，有理数全体の集合Q，複素数全体の集合Cは，和に関してアーベル群である．
また, R, Q, C は積に関してアーベル群である．


そして，実数を成分として持つn次正則行列全体の集合
Rn , 有理数を成分として持つn次正則行列全体の集合
Qn , 複素数を成分として持つn次正則行列全体の集合
Cn , は, 行列の積に関してアーベル群である．この三つを一般線形群という．